1つの点を通り、2 つの円と接する円は、一般には以下のように4 つの解がある。作図手順としては一つの手順で 2 つの解の円がセットで作図できるので、それを 2種類行うことになる。
・1つの点を通り、2 つの円と接する円の作図（110手順）
条件：与円C1, C2（円の中心点C1, C2は既知とする）、両円の外側にある点Aが与えられている（赤表示）
解の数：一般解は 4つ
1 セット目（二つの解）の作図手順：（55手順）
①円C1, C2の共通外接線を一つ引き、各円との接点をそれぞれT1, T2とする（11）
（「基本作図パターン集」ページの「2 円の共通外接線を引く」を参照のこと）
②円C1, C2の中心を結ぶ直線を描き、①で作図した接線との交点をOとする
③点O, Aを通る直線を引き、直線 l とする
④3点A, T1, T2を通る円C3を描く（PPPの作図ページを参照）（9）
⑤円C3と直線 l との交点をBとする（0）
⑥円C3と円C1との交点をDとする（0）
⑦T1とDを結ぶ直線を描き、直線 l と交わる点をMとする
⑧Mから円C1に二つの接線を引き、接点をそれぞれP1, P2とする（14）
（「基本作図パターン集」ページの「円外の点から円に接線を引く」を参照のこと）
⑨3点A, B, P1を通る円を描く、それが求める円の一つ目の円C4（9）
⑩3点A, B, P2を通る円を描く、それが求める円の二つ目の円C5（9）
これで、与両円に外接する円C4、与両円に内側に接する円C5 が描けた。
※つまりCCP問題をCPP問題に変換して解いているのだ
解説：１．3点A, B, P1を通る円C4が、点P1で円C1に接していることについて
円C1において、方べきの定理からMD・MT1＝MP1^2
円C3において、方べきの定理からMA・MB＝MD・MT1
これより、円C4において、MA・MB＝MP1^2となるので、方べきの定理の逆で、MP1は円C4への接線であり、P1は円C4との接点であると言える
２．円C4が点Q1（下図①）で円C2に接することについて
①3点A, B, P1を通る求めた円C4と与円C2の交点が一つ点Q1で接しているものと仮定する
②2点P1, Q1を通る直線を引き、円C1との（P1以外の）交点をR1とする
③直線P1Q1と直線C1C2の延長との交点をO'とする
④点OとO'が同一点である、なぜなら
△C4P1Q1が二等辺三角形（緑色部分）なので、∠C1R1O'＝∠C2Q1O
つまりC1R1とC2Q1は平行
よってO'C1：O'C2＝C1R1：C2Q1＝OC1：OC2
でOとO'は一致し、OA・OB＝OP1・OQ1・・・式1
⑤円C4は円C2とQ1で接する、なせなら
円C4が円C2に接していないと仮定し、直線P1Oと円C4との交点をQ1'とすると、
OA・OB＝OP1・OQ1'・・・式2
３．3 点A, B, P2を通る円C5が、点P2で円C1に接していること
上図で①のP1の部分をP2に、円C4を円C5に置き換えるだけで同じこと
４．円C5が点Q2（下図①）で円C2に接すること
①3点A, B, P2を通る求めた円C5と与円C2の交点が一つ点Q2で接しているものと仮定する
②2点P2, Q2を通る直線を引き、円C1との（P2以外の）交点をR2とする
③直線P2Q2と直線C1C2の延長との交点をO'とする
④点OとO'が同一点である、なぜなら
△C5P2Q2が二等辺三角形（緑色部分）なので、∠C1R2O'＝∠C2Q2O
つまりC1R2とC2Q2は平行
よってO'C1：O'C2＝C1R2：C2Q2＝OC1：OC2
でOとO'は一致し、OA・OB＝OP2・OQ2・・・式1
⑤円C5は円C2とQ2で接する、なせなら
円C4が円C2に接していないと仮定し、直線P2Oと円C5との交点をQ2'とすると、
OA・OB＝OP2・OQ2'・・・式2
2 セット目（二つの解）の作図手順：（55手順）
方針：
1 セット目の手順では最初に与2 円の共通外接線を引いたが、こちらでは、それを共通内接線に変える。つまり下図①のような接線でなく、②のような接線にするだけで、あとの手順は全て同じでよいが、対応図は変ってくるので、手順と共にそちらも記載しておく。
作図手順
①円C1,C2の共通内接線を一つ引き、各円との接点をそれぞれT1, T2とする（11）
（「基本作図パターン集」ページの「2 円の共通内接線を引く」を参照のこと）
②円C1, C2の中心を結ぶ直線を描き、①で作図した接線との交点をOとする
③点O, Aを通る直線を引き、直線 l とする
④3点A, T1, T2を通る円C3を描く（PPPの作図ページを参照）（9）
⑤円C3と直線 l との交点をBとする（0）
⑥円C3と円C1との交点をDとする（0）
⑦T1とDを結ぶ直線を描き、直線 l と交わる点をMとする
⑧Mから円C1に二つの接線を引き、接点をそれぞれP1, P2とする（14）
⑨3点A, B, P1を通る円を描く、それが求める円の一つ目の円C4（9）
⑩3点A, B, P2を通る円を描く、それが求める円の二つ目の円C5（9）
これで、片方の与円に外接し、もう一方の与円に内接する、円C4と円C5 が描けた。
このページは、外部サイト Insight for WebAnalytics の情報をRSSフィード経由で取得して表示しているため、記事の一部分しか表示されていなかったり、画像などが正しく表示されなかったり、オリジナル記事が意図したデザインと異なっていたりする場合があります。
Facebookいいね!の多い記事
Twitterで言及の多い記事
はてなブックマーク人気記事
