【計算できる？】5分で落ちる砂時計、砂2倍・くびれ半分にすると何分で落ちる？｜大人が忘れている「反比例の計算」

このお店のこのビールは3度注ぎなんだ。3度注ぎって、その名の通り、3回に分けて注ぐんだけど、注ぐタイミングを砂時計で測っているんだよね。これがおいしいんだなー。

なんか詩的。ところで、測れる時間と砂の量が比例するとしたら、砂の量を2倍にすると、全部落ちるまでの時間は2倍だよね。

加えて、測れる時間と中央のくびれの断面積は反比例するとしよう。すると、中央のくびれの断面積を半分にしたら、落ちる時間は2倍になるよね。

ここに5分で砂がすべて落ちる砂時計があります。砂の量を2倍にして、くびれの部分を半分にした砂時計は、何分ですべての砂が落ちるでしょうか。

正解は20分でーす。アユムさんが計算している間にビールのんでるねー。マスター!

はーい、イマジナリーモリです。アユムさんの脳に直接語りかけています。

どれどれ見せてください。「5分で砂がすべて落ちる砂時計があります。砂の量を2倍にして、くびれの部分を半分にした砂時計は、何分ですべての砂が落ちるでしょうか」ですか。…20分ですね。

この問題において、砂の量と落ちる時間は、比例関係があります。なので、砂が2倍になると、時間も2倍になります。よって、砂の量だけを考えると、5分 × 2 = 10分かかることになります。

次に、くびれの断面積の大きさは、落ちる時間と反比例の関係にあります。断面積が半分1/2になると、落ちる時間は2倍になります。

そこはのちほど説明します。つまり、かかる時間は2倍になるので10分×2＝20分となります。

アユムさん、「とりあえず」では、まだ3度注ぎの1回目ですよ。反比例とは何なのかを、もう少し掘り下げましょう。

それでは、比例と反比例について説明します。

それ、非礼と半非礼？ それではなく、比例と反比例です。
比例とは、2つの量の関係で、一方が2倍、3倍、4倍...と変化すると、もう一方も2倍、3倍、4倍...というように、一定倍変化する関係のことです。
たとえば、1個100円のリンゴを1個買うと100円、2個買うと200円のように、買うりんごの数が増えれば増えるほど、支払う金額も同じ割合で増えていきます。2つの量の比𝒴/𝒳が一定なのが特徴です。

次に反比例です。反比例とは、2つの量の関係で、一方が2倍、3倍、4倍...と変化すると、もう一方が1/2 倍、1/3 倍、1/4 倍...と変化する関係のことです。
たとえば100個のお団子を5人で食べると20分かかり、10人で食べると10分かかる、みたいな感じですね。2つの量をかけ合わせた値が常に一定になるのが特徴です。

はい、その通りです。仕事算の考え方は反比例の関係ですね。

すばらしい、その通りです。大切なことなので、もう一度言いますね。比例は式にすると、𝒴 = a𝒳 （aは比例定数）、反比例は𝒳𝒴 = a （aは比例定数）とあらわします。このaは「比例定数」といって、比例であればわった値（𝒴/𝒳）、反比例であればかけ合わせた値(𝒳𝒴)にあたります。0はとらず、なにかしらの定まった数となります。

モリ　電子レンジで温める時間も反比例の考え方ですね。たとえば、600W（ワット）で100秒温めるお弁当があるとき、1200Wだと何分でしょう？

はい、そうです。ワット数と加熱時間をかけた値は『ジュール』というエネルギーの単位で表されます。この関係は反比例で、式にすると𝒳𝒴 = a （aは比例定数）です。では具体的に、600Wで100秒温めるお弁当は、500Ｗだと何秒温めますか？

はい、その通りです。このように、反比例は、𝒳×𝒴が一定の値を持つというのが特徴です。

理論的には、1つ温めるのに60000ジュールが必要であれば、2つ温めるには120000ジュールとなり、500Wの電子レンジでは、120000÷500=240秒、つまり2倍の時間がかかります。ただ、電子レンジの性能や、温めるものにもよりますので、必ずしもこの通りになるとは限りません。

色々ありますよ。一定の距離を前提にしたときの、速度と移動時間の関係もそうですね。1時間で60キロ進んだら時速60キロ、2時間で60キロ進んでいたら時速30キロですね。反比例の考えかたは、こういった日常の中でもたくさん使われていますよ。

繰り返しになりますが、このaは「比例定数」といって、比例であれば一定となる比（𝒴/𝒳）、反比例であればかけ合わせた値(𝒳𝒴)にあたります。0はとらず、なにかしらの定まった数となります。

𝒳𝒴 = a を変形しましょう。𝒴=の式にすると、𝒴=a/𝒳 になります。

aが正の数（プラス）の場合はそうですね。グラフにするとわかりやすいので、かきます。

あるあるですね。理解しているとグラフをかけるので、進めます。まず、a=6としましょう。𝒳が1のとき、𝒴はいくつですか？

では、突然出てきた方眼紙の 𝒳=1 𝒴=6 の位置に点を打ち込みます。

次に、𝒳=2、3、6のときは？

それぞれ点を入れましょう。

点を線で結びます。このときに直線ではなくて、滑らかな線をかきます。

いまは整数でわかりやすく点を打ちましたが、小数まで考えると𝒴はなだらかに減っていくからです。こんな感じです。

次に、𝒳がマイナスの場合を考えます。𝒳=-1の場合、𝒴はどうなりますか？

同様に𝒳=-2、-3、-6のときは？

それぞれ点を入れていきましょう。

反比例のグラフは、𝒳軸と𝒴軸に近づきいていきますが、決して交わることはありません。𝒴=a/𝒳 はいずれの値も0をとらないからです。なので線は理論上、無限に伸びていきます。

a=-6のときも同様に計算し、点を打ってみましょう。

そうなんです。中学校のとき、数学はまる覚えで乗り切る！ という方もいたかと思います。でも、適当な数字を入れてグラフをかくと、形がわかるので覚える必要もないんですよ。身の回りにある反比例を見つけて、式を作って楽しんでください！